GALAT INTERPOLASI POLINOM
DAN
POLINOM NEWTON-GREGORY
(Disusun untuk memenuhi tugas kelompok Metode Numerik)
Dosen Pengampu Nurmalitasari
Oleh :
Iskandar Eko S (120103143)
Bagus Irawan (120103135)
Unjari Adi W (120103147)
S1- TEKNIK INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN ILMU KOMPUTER
DUTA BANGSA
SURAKARTA
KATA PENGANTAR
Segala puji kepada Allah SWT yang karena setiap nikmatnya memberi kita hidup, menganugrahkan inspirasi, dan menghiasi kita dengan akhlakNYA. Semoga setiap shalawat yang terucap dari lisan kita menjadi penghias kecintaan kita kepada Nabiullah Muahammad SAW.
Penulis ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini, dan tak lupa pula kami mengucapkan terima kasih kepada dosenkami yang telah memberikan tugas makalah ini. Makalah ini disusun sebagai tugas kelompok dan sebagai literature dalam mempelajari analisis numerik.
Penulis sadar bahwa dalam makalah ini belum lengkap, sebagai manusia biasa dan mahasiswa yang baru belajar, maka kami meminta saran-saran dan kritik untuk perbaikan untuk selanjutnya.
Wassalam……..
Surakarta, 26November2013
Penulis
BAB I
PENDAHULUAN
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalm berbagai disiplin inlu pengetahuan. Sering model matematika tersebut rumit dan tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Maka dari itu hadir metode numerik untuk menyelesaikannya.
Metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analisis dan memasuki wilyah simulasi. Dan simulasi menggunakan media komputer.
Dalam makalah ini sesuai tugas yang diberikan dosen pembimbing metode numerik, akan membahas 2 point sub-bab dari Bab Interpolasi dan Regresi yaitu :
1. Galat Interpolasi polinom
2. Polinom Newton-Gregory
BAB II
PEMBAHASAN
A.Galat Interpolasi Polinom { E(x) }
Polinom interpolasi pn(x) merupakan hampiran terhadap fungsi yang asli f(x). Jadi pn(x) tidak sama dengan fungsi asli f(x), walaupun pada titik-titik tertentu f(x) dan pn(x)bersesuaian, yaitu :
f(xi) = pn(xi) , i = 0, 1, 2, …,n
Karena f(x) ≠ pn(x), berarti ada selisih (galat) di antara keduanya, sebutlah E(x)
E(x) = f(x) - pn(x)
Mengingat f(xi) = p(xi) untuk i = 0, 1, 2, ..., n, maka harus juga berlaku
E(xi) = f(xi) - pn(xi) = 0
yang berarti E(x) mempunyai (n+1) titik nol dari x0 sampai xn. E(x) dapat ditulis sebagai berikut :
E(x) = f(x) - pn(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) R(x) ........(pers.1)
atau
E(x) = Qn+1(x) R(x) .........(pers.2)
yang dalam hal ini
Qn+1(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) .........(pers.3)
Catatlah bahwa
Qn+1(xi) = 0 untuk i = 0, 1, …, n
R(x) adalah fungsi yang mencatat nilai -nilai selain dari x0, x1, …,xn. Bagaimana
menentukan R(x)? Jawabannya di bawah ini.
Persamaan Edapat ditulis sebagai
f(x) - pn(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) R(x) = 0
Misal didefinisikan fungsi W(t) sebagai
W(t) = f(t) - pn(t) - (t - x0) (t - x1) … (t - xn) R(x) = 0 .........(pers.4)
Perhatikan di sini bahwa R(x) tidak ditulis sebagai R(t) karena kita akan mencari
nilai-nilai x selain t. Persamaan W(t) = 0 berarti mempunyai (n+2) titik nol pada t
= x0, x1, …, xn dan t = x. Berdasarkan teorema Rolle yang berbunyi:
Misalkan fungsi f menerus di dalam selang [a, b] dan f ‘(x) ada untuk semua
a < x < b. Jika f(a) = f(b) = 0, maka terdapat nilai c, dengan a < c < b,
sedemikan sehingga f ‘(c) = 0.
jika W menerus dan dapat diturunkan pada selang yang berisi ( n+2) titik nol,
maka :
W’(t) = 0 è mempunyai (n + 1) titik nol
W’’(t) = 0 è mempunyai n titik nol
W’’’(t) = 0 è mempunyai (n-1) titik nol
...
W (n+1)(t) = 0 è mempunyai paling sedikit 1 titik nol,
misal pada t = c
W (n+1)(t) = 0 = d(n+1) [ f (t) - pn(t) - (t - x0) (t - x1) … (t - xn) R(x)] t = c
W (n+1)(t) = 0 = d(n+1) [ f (t) - pn(t) - (t - x0) (t - x1) … (t - xn) R(x)] t = c
= f (n + 1) (c) - 0 - (n + 1)! R(x) .......(pers.5)
yang dalam hal ini,
pn(t) adalah polinom derajat n,
pn(n)(t) adalah fungsi tetap sehingga pn (n+1) = 0
Qn+1(t) = (t - x0) (t - x1) … (t - xn) = t(n+1) + (suku-suku polinom derajat 
n)
n) Qn+1(n+1)(t) = (n + 1)! + 0
R(x) tidak bergantung pada t, jadi ia tidak berubah selama penurunan
Dari persamaan (Pers.5), kita memperoleh
R(x) = 
, x0 < c < xn ........(pers.6)
, x0 < c < xn ........(pers.6)Perhatikanlah bahwa persamaan (Pers.6) ini mengingatkan kita pada rumus galat
pemotongan pada deret Taylor.
Selanjutnya, sulihkan (Pers.6) ke dalam (Pers.1), menghasilkan
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) .........(pers.7)
.........(pers.7)Atau
E(x) = Qn+1(x) .........(pers.8)
.........(pers.8)Dengan
Qn+1(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn)
Rumus galat ini berlaku untuk semua metode interpolasi polinom, baik polinom Lagrange, polinom Newton, atau polinom interpolasi lainnya. Misalkan kita menginterpolasi dua buah titik dengan polinom Lagrange derajat satu (polinom lanjar). Galat interpolasinya dinyatakan dalam bentuk
E(x) = 
f’’ (c)
f’’ (c) Bila fungsi f diketahui, kita dapat mencari turunannya di x = c untuk menghitung galat interpolasi E(x). Sayangnya, kita tidak mengetahui nilai c; yang pasti nilai c terletak antara x0dan xn. Jika f (n+1) berubah sangat lambat dalam selang [x0,xn], atau [x0,xn] adalah selang kecil sedemikian sehingga f (n+1) berubah sangat lambat, maka kita dapat menghampiri f (n+1)(c) dengan f(n+1)(xt), yang dalam hal ini xt adalah titik tengah x0 dan xn, yaitu xt = (x0+ xn)/2. Galat interpolasi dengan menggunakan nilai xt ini dinamakan galat rata-rata interpolasi ER.
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) 
.........(pers.9)
.........(pers.9)Dari persamaan (Pers.7) terlihat bahwa galat polinom interpolasi, selain
bergantung pada nilai x yang diinterpolasi, juga bergantung pada turunan fungsi
semula.
Tinjau kembali Qn+1 pada persamaan (Pers. 8):
Qn+1(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn)
Misalkan x0, x1, …, xn berjarak sama. Grafik fungsi Q untuk enam titik yang
berjarak sama ditunjukkan pada Gambar berikut
Berdasarkan Q6(x) yang berosilasi pada Gambar diatas terlihat bahwa:
- di titik-titik data xi, nilai Q6(xi) = 0, sehingga galat interpolasi E(xi)=0
- di titik tengah selang, nilai Q6(x) minimum, sehingga E(x) juga minimum
- di titik-titik sekitar ujung selang, Q6(x) besar, sehingga E(x) juga besar
- bila ukuran selang [x0, x6] semakin besar, amplitudo osilasi meningkat dengan cepat.
Kesimpulan:
Galat interpolasi minimum terjadi untuk nilai x di pertengahan selang.
Penjelasannya adalah sebagai berikut.
Nilai -nilai x yang berjarak sama ditulis sebagai
x0 , x1 = x0 + h , x2 = x0 + 2h , ... , xn = x0 + nh
atau dengan rumus umum
xi = x0+ ih , i = 0, 1, 2, …, n ........(pers.10)
Titik yang diinterpolasi dinyatakan sebagai
x = x0 + sh , s 
R
Rsehingga
x - xi = (s -i)h , i = 0, 1, 2, …, n .........(pers.11)
Galat interpolasinya adalah
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn)
= (sh) (s - 1)h (s - 2)h … (s - n)h
= s (s - 1) (s - 2) … (s - n) hn+1 .......(pers.12)
.......(pers.12)Dapat diditunjukkan bahwa
Qn+1(s) = s(s - 1)(s - 2) … (s - n)
bernilai minimum bila
Qn+1'(s)=0
yang dipenuhi untuk s = n/2 (buktikan!). Dengan kata lain, E(x) bernilai
minimum untuk nilai -nilai x yang terletak di (sekitar) pertengahan selang.
Ingatlah kalimat ini:
Untuk mendapatkan galat interpolasi yang minimum, pilihlah selang
[x0, xn] sedemikian sehingga x terletak di tengah selang tersebut.
Misalkan kepada kita diberikan titik-titik data seperti ini:
Bila anda diminta menghitung f(0.160), maka selang yang digunakan agar galat interpolasi f(0.160) kecil adalah
[0.150, 0.175] è untuk polinom derajat satu, atau
[0.125, 0.200] è untuk polinom derajat tiga, atau
[0.100, 0.225] è untuk polinom derajat lima
1. Batas antara galat interpolasi untuk titik-titik yang berjarak sama
Diberikan absis titik-titik yang berjarak sama:
xi = x0 + ih , i = 0, 1, 2, …, n
dan nilai x yang akan diinterpolasikan dinyatakan sebagai
x = x0 + sh , s 
R
R Untuk polinom interpolasi derajat 1, 2, dan 3 yang dibentuk dari xi di atas dapat
dibuktikan bahwa
(i) | E1(x) |= | f(x) - p1(x)| 
h2 
...(pers.13)
h2 ...(pers.13)(ii) | E2(x) |= | f(x) – p2(x)| 
h3 
...(pers.14)
h3 ...(pers.14)(iii) | E3(x) |= | f(x) – p3(x)| 
h4 
...(pers.15)
h4 ...(pers.15)Di sini kita hanya membuktikan untuk (i) saja:
Bukti:
Misalkan x0= 0 dan xi = h, persamaan galatnya adalah
E1(x) = (x - x0)(x - x1)
,yang dalam hal ini x0 < c < x1
,yang dalam hal ini x0 < c < x1 = 
|E1(x)| = ½ | x2-xh f’’(c) | = ½ | x2-xh f’’(c) | ½
½ Misalkan
(x) = x2 - xh Di dalam selang [x0, x1], nilai maksimum lokal f(x) dapat terjadi pada ujung-
ujung selang ( x = 0 atau x= h) atau pada titik ekstrim f(x). Terlebih dahulu
tentukan titik ekstrim f(x) dengan cara membuat turunan pertamanya sama
dengan 0:
’(x) = 2x - h = 0 è x = h/2 Hitung nilai maksimum lokal (x) di ujung-ujung selang dan titik ekstrim:
(x) di ujung-ujung selang dan titik ekstrim: - di ujung selang kiri x = 0, è (0) = 02 - 0h = 0
(0) = 02 - 0h = 0 - di ujung selang kanan x = h è (h) = h2- h2 = 0
(h) = h2- h2 = 0 - di titik ekstrim x = h/2 è (h/2) =(h/2)2 - (h/2)h = -1/4 h2
(h/2) =(h/2)2 - (h/2)h = -1/4 h2Jadi, ,maksimum | (x)| = -1/4 h2 , sehingga dengan demikian
(x)| = -1/4 h2 , sehingga dengan demikian | E1(x) |= | f(x) - p1(x)| 
h2 
h2 Contoh
Tinjaulah kembali tabel yang berisi pasangan titik (x , f(x )) yang diambil dari f(x) = cos(x).
(a) Hitung galat rata -rata interpolasi di titik x = 0.5, x = 1.5, dan x = 2.5, bila x diinterpolasi dengan polinom Newton derajat 3 berdasarkan x0 = 0.
(b) Hitung batas atas galat interpolasi bila kita melakukan interpolasi titik -titik berjarak
sama dalam selang [0.0 , 3.0] dengan polinom interpolasi derajat 3.
(c) Hitung batas atas dan batas bawah galat interpolasi di x = 0.5 dengan polinom Newton derajat 3
Penyelesaian:
(a) Telah diketahui sebelumnya bahwa polinom derajat 3 yang menginterpolasi f(x)= cos(x) dalam selang [0.0, 3.0] adalah :
cos(x) 
p3(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2485(x - 0.0)(x - 1.0) +
p3(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2485(x - 0.0)(x - 1.0) + 0.1466(x - 0.0)(x - 1.0)(x - 2.0)
Menghitung galat rata-rata interpolasi :
Titik tengah selang [0.0 , 3.0] adalah di xm= (0.0 + 3.0)/2 = 1.5
Galat rata-rata interpolasi adalah :
E3(x) =
f(4) (xm)
f(4) (xm)Hitung turunan keempat dari fungsi f(x) = cos(x),
f '(x) = -sin(x) ;
f ”(x) = -cos(x) ;
f '''(x) = sin(x)
f (4)(x) = cos(x)
karena itu,
E3(x) = (cos(1.5))
(cos(1.5))Untuk x = 0.5, x = 1.5, dan x = 2.5, nilai-nilai interpolasinya serta galat rata-rata interpolasinya dibandingkan dengan nilai sejati dan galat sejati diperlihatkan oleh tabel berikut :
Catatan:
Perhatikan bahwa karena x = 1.5 terletak di titik tengah selang, maka galat interpolasinya lebih paling kecil dibandingkan interpolasi x yang lain.
(b) Telah diketahui bahwa batas atas galat interpolasi dengan polinom derajat 3 adalah
| E3(x) |= | f(x) – p3(x)| 
h4 , , x0 £ c £ x3.
h4 , , x0 £ c £ x3. Telah diperoleh dari (a) bahwa f (4)(x) = cos(x), dan dalam selang [0.0 , 3.0] nilai Max | f(4)(x) |terletak di x = 0.0. Jadi, |f(4)(x) | = |cos(0.0)|= 1.000000. Untuk p3(x)
dengan jarak antar titik data adalah h = 1.0, batas atas galat interpolasinya adalah
E3(x) (1.0)4 1.000000/24 = 1/24 = 0.0416667.
(1.0)4 1.000000/24 = 1/24 = 0.0416667. Nilai-nilai E3(x) pada tabel di atas semuanya di bawah 0.0416667. Jadi, batas atas
0.0416667 beralasan.
(c) E3(x) = (cos(1.5))
(cos(1.5))E3(0.5) =
(-cos(c)) , 0.0 
c 3.0
(-cos(c)) , 0.0 c 3.0 Karena fungsi cosinus monoton dalam selang [0.0 , 3.0], maka nilai maksimum dan
nilai minimum untuk cos (c) terletak pada ujung-ujung selang. Untuk c = 0.0
maka :
E3(0.5) = (-cos(0.0))
(-cos(0.0)) = - 0.0390625 (minimum),
dan untuk c = 3.0 maka
E3(0.5) = (-cos(3.0))
(-cos(3.0)) = 0.0386716 (maksimum)
sehingga, batas-batas galat interpolasi di x = 0.5 adalah :
-0.0390625 E3(0.5) 0.0386716
E3(0.5) 0.03867162. Taksiran galat interpolasi Newton
Salah satu kelebihan polinom Newton dibandingkan dengan polinom Lagrange adalah kemudahan menghitung taksiran galat interpolasi meskipun fungsi asli f(x) tidak diketahui, atau kalaupun ada, sukar diturunkan.
Tinjau kembali polinom Newton:
pn(x) = pn-1(x) + (x - x0) (x - x1) … (x - xn-1) f[xn, xn-1, …, x1, x0]
Suku
(x - x0)(x - x1)…(x - xn-1) f[xn, xn-1, …, x1, x0]
dinaikkan dari n sampai n + 1 menjadi
(x - x0)(x - x1)…(x - xn-1) (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) 
Ekspresi
dapat dihampiri nilainya dengan f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
yang dalam hal ini f(xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0) adalah selisih-terbagi ke (n + 1). Jadi
f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0] ....(pers.16)sehingga taksiran galat interpolasi Newton dapat dihitung sebagai
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0] .....(pers.17)
asalkan tersedia titik tambahan xn +1.
Contoh :
Perhatikan tabel !
Bila digunakan polinom derajat tiga untuk menaksir nilai f(2.5), hitunglah taksiran galat interpolasinya.
Penyelesaian:
Bila digunakan polinom derajat tiga, maka tersedia titik sesudah x3 =3.0, yaitu x4 = 4.0,dan dari tabel selisih-terbagi ditemukan f[x4, x3, x2, x1, x0] = -0.0147
sehingga taksiran galat dalam menginterpolasi f(2.5) adalah
E(2.5) = (2.5 - 0.0)(2.5 - 1.0)(2.5 - 2.0)(2.5 - 3.0) (-0.0147) = 0.01378125
3. Taksiran galat interpolasi Lagrange
Taksiran galat polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena tidak
tersedia rumus taksiran galat seperti halnya pada interpolasi Newton. Namun, jika
tabel selisih-terbagi tersedia, maka taksiran galatnya dapat dihitung dengan rumus
taksiran galat polinom Newton:
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
asalkan tersedia titik tambahan xn+1. Meskipun demikian, tabel selisih-terbagi
tidak dipakai sebagai bagian dari algoritma Lagrange, ini jarang terjadi.
B. Polinom Newton-Gregory
Polinom Newton-Geogry merupakan kasus khusus dari polinom-Newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi nilai-nilai x berjarak sama, misalnya pada table fungsi, atau pada pengukuran yang dilakukan pada selang waktu yang teratur.
Untuk-untuk titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhanah. Selain itu, table selisih terbaginya pun lebih mudah dibentuk. Di sini kita menamakan table tersebut sebagai tabel selisih saja, karena tidaak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel.
Ada dua macam table selisih, yaitu table selisih maju (forwad difference) dan table selisih mundur (backward difference). Karena itu, ada dua macam polinom Newton-Geogry maju dan polinom Newton-Geogry mundur.
1. Polinom Newton-Gregory maju
Polinom Newton-Geogry maju diturunkan dari table selisih maju. Sebelum menurunkan rumusnya, kita bahas dahulu table selisih maju.
a. Table Selisih Maju
Misal diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama. Tabel selisih maju yang dibentuk dari kelima titik itu adalah
x f(x) ∆f ∆2f ∆3 f ∆4f |
x0 f0 ∆f0 ∆2f0 ∆3f0 ∆4f0 x1 f1 ∆f1 ∆2f1 ∆3f1 ∆4f0 x2 f2 ∆f2 ∆2f2 ∆3f2 x3 f3 ∆f3 ∆2f3 x4 f4 ∆f4 |
Lambang ∆ menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol didalam symbol adalah :
f0 = f(x0) = y0
f1 = f(x1) = y1
…
f4 = f(x4)
Notasi: fp =f(xp)
∆f0 = f1-f0
∆f1 = f2-f1
…
∆f3 = f4-f3
Notasi: ∆fp = fp+1-fp
∆2f0 =∆f1-2f0
∆2f1 =∆f2-∆f1
∆2f2 =∆f3-∆f2
Notasi : ∆2fp =∆ fp+1-∆fp
∆3f0 =∆2f1-∆2f0
∆3f1 =∆2f2-∆2f1
Notasi : ∆3fp =∆2fp+1-∆2fp
Bentuk umum:
∆n+1fp =∆nfp+1-∆nfp, n= 0,1,2… .....(pers.18)
b. Penurunan Rumus Polinom Newton-Geogry Maju
Sekarang kita mengembangkan polinom Newton-Geogry maju yang didasarkan pada table selisih maju.
....(pers.19)
= 
..........(pers.20)
..........(pers.20)Bentuk umum:
.......(pers.21)Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai
berikut:
Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Geogry maju. Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:
......(pers.23)Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai
Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah
Maka, persamaan diatas dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai
Yang menghasilkan
.....(pers.24)
Atau dalam bentuk relasi rekusif.
(i). rekunsi: 
(ii). Basis: p0(x)=f(x0) .....(pers.25)
Seringkali (pers.24) dinyatakan dalam bentuk binomial:
...(pers.26) Yang dalam hal ini .
(s>0, bilangan bulat)Dan
k!=1 x 2 x…x k
Tahap pembentuk polinom Newton-Geogry maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:
…
c. Menghitung Galat Interpolasi Newton-Geogry Maju
Seperti halnya pada polinom Newton, kita dapat menghitung batas-batas galat intterpolasi Newton-Geogry maju.
d. Taksiran Galat Interpolotasi Newton-Gregory Maju
Seperti halnya polinon Newton ,taksiran galat interpolasi dengan nilai pada tabel selisih.
Tinjau kembali polinom Newton_Geogry maju:
Dengan s= (x-x0)/h
Naikkan suku
Dari n menjadi n+1
Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi
Sehingga,
dapat dihampiri dengan
dapat dihampiri dengan
Jadi, taksiran galat dalam menginterpolasi f(x) dengan polinom Newton-Geogry maju adalah
Atau bentuk lain,
Dengan s=(x-x0)/h.
e. Manfaat Tabel selisih Maju
Berdasarkan pembahasan yang telah terinci Tabel selisih bermanfaat untuk menentukan
1. Derajat polinom interpolasi
2. Selang data
3. Ketelitian yang diinginkan.
2. Polinom Newton-Geogry Mundur
Polinom Newton –Gregory Mundur (Newton-Gregory backward) di bentuk dari tabel selisih mundur .polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan (derivative) secara numerik .Titik –titik yang di gunakan berjarak sama ,yaitu
Yang dalam hal ini,
Dan nilai yang diinterpolasikan adalah
Sebagai contoh, tabel selisih mundur untuk 4 titik diperlihatkan oleh tabel berikut:
i xi f(x)  |
-3 x-3 f-3 -2 x-2 f-2  -1 x-1 f-1  0 x0 f0  |
Lambang 
menyatakan selisih mundur.
menyatakan selisih mundur.Keterangan:
Polinom Newton-Geogry mundur yang menginterpolasi (n+1) titik data adalah
Contoh :
Diberikan 4 buah titik data dalam tabel berikut.
Hitunglah f(1.72) dengan :
(a) polinom Newton-Gregory maju derajat 3
(b) polinom Newton-Gregory mundur derajat 3
Misalkan jumlah angka bena yang digunakan adalah 7 digit.
Penyelesaian:
(a) Polinom Newton-Gregory maju derajat 3
s = (x - x0)/h = (1.72 - 1.70)/0.1 = 0.2
Perkiraan nilai f(1.72) adalah
f(1.72) » p3(1.72) = 0.3979849 + 0.2(-0.0579985) + 
(-0.0001693)
(-0.0001693) + 
(0.0004093)
(0.0004093)= 0.3979849 - 0.0115997 + 0.0000135 + 0.0000196
= 0.3864183
(nilai sejati f(1.72) = 0.3864185, jadi p3(1.72) tepat sampai 6 angka bena)
(b) polinom Newton-Gregory mundur derajat 3
Tabel di atas memperlihatkan bahwa tabel selisih mundur sama dengan tabel selisih maju, yang berbeda hanya notasi dan penempatan elemennya.
s = (x - x0)/h = (1.72 - 2.0)/0.1 = -2.8
Perkiraan nilai f(1.72) adalah
f(1.72) » p3(1.72) = 0.2238908 - 2.8(-0.0579278) +
(0.0002400)
(0.0002400) + 
(0.0004093)
(0.0004093)= 0.2238908 + 0.1621978 + 0.0006048 - 0.0002750
= 0.3864183
Contoh diatas memperlihatkan bahwa penyelesaian dengan Newton-Gregory maju atau mundur menghasilkan jawaban yang sama.
BAB III
PENUTUP
1. Kesimpulan
· Rumus rata-rata galat interpolasi polinom
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn)
· Rumus galat interpolasi polinom minimum
E(x) = s (s - 1) (s - 2) … (s - n) hn+1
· Untuk polinom interpolasi derajat 1, 2, dan 3 yang dibentuk dari xi yang telah dibuktikan rumus sebagai berikut
(i) | E1(x) |= | f(x) - p1(x)| 
h2 
h2 (ii) | E2(x) |= | f(x) – p2(x)| 
h3 
h3 (iii) | E3(x) |= | f(x) – p3(x)| 
h4 
h4 · Rumus taksiran galat interpolasi newton
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
· Taksiran galat polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena tidak
tersedia rumus taksiran galat seperti halnya pada interpolasi Newton. Namun, jika
tabel selisih-terbagi tersedia, maka taksiran galatnya dapat dihitung dengan rumus
taksiran galat polinom Newton:
E(x) = (x - x0) (x - x1) … (x - xn) f[xn+1, xn, xn-1, …, x1, x0]
asalkan tersedia titik tambahan xn+1. Meskipun demikian, tabel selisih-terbagi
tidak dipakai sebagai bagian dari algoritma Lagrange, ini jarang terjadi.
· Tabel selisih bermanfaat untuk menentukan
1. Derajat polinom interpolasi
2. Selang data
3. Ketelitian yang diinginkan.
· Dalam polinom Newton-Gregory tabel selisih mundur sama dengan tabel selisih maju, yang berbeda hanya notasi dan penempatan elemennya.
· Cara penyelesaian dengan Newton-Gregory maju atau mundur menghasilkan jawaban yang sama.
2. Saran
DAFTAR PUSTAKA
Munir. Renaldi. 2008. Metode Numerik. Bandung : Informatika Bandung.
https://onemat.files.wordpress.com/2012/04/polinom-newton.docx
Khurdi, N. A. 2011. Metode Numerik dengan Matlab.Surakarta: Duta Publishing Indonesia.
Post a Comment