Galat Interpolasi Polinom dan Polinom Newton-Gregory

GALAT INTERPOLASI POLINOM

DAN

POLINOM NEWTON-GREGORY

(Disusun untuk memenuhi tugas kelompok Metode Numerik)

Dosen Pengampu Nurmalitasari

Oleh :

Iskandar Eko S       (120103143)

Bagus Irawan          (120103135)

Unjari Adi W          (120103147)

S1- TEKNIK INFORMATIKA

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN ILMU KOMPUTER

DUTA BANGSA

SURAKARTA

KATA PENGANTAR

Segala puji kepada Allah SWT yang karena setiap nikmatnya memberi kita hidup, menganugrahkan inspirasi, dan menghiasi kita dengan akhlakNYA. Semoga setiap shalawat yang terucap dari lisan kita menjadi penghias kecintaan kita kepada Nabiullah Muahammad SAW.

Penulis  ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini, dan tak lupa pula kami mengucapkan terima kasih kepada  dosenkami yang telah memberikan tugas makalah ini. Makalah ini disusun sebagai tugas kelompok dan sebagai literature dalam mempelajari analisis numerik.

Penulis sadar bahwa dalam makalah ini belum lengkap, sebagai manusia biasa dan mahasiswa yang baru belajar, maka kami meminta saran-saran dan kritik untuk perbaikan untuk selanjutnya.

Wassalam……..

                                                                                                     Surakarta,   26November2013

                                                                                                          Penulis  

BAB I

PENDAHULUAN

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalm berbagai disiplin inlu pengetahuan. Sering model matematika tersebut rumit dan tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Maka dari itu hadir metode numerik untuk menyelesaikannya.

            Metode numerik adalah cara penyelesaian matematis yang dikembangkan dari cara analisis dan memasuki wilyah simulasi. Dan simulasi menggunakan media komputer.

            Dalam makalah ini sesuai tugas yang diberikan dosen pembimbing metode numerik, akan membahas 2 point sub-bab dari Bab Interpolasi dan Regresi yaitu :

1.      Galat Interpolasi polinom

2.       Polinom Newton-Gregory

BAB II

PEMBAHASAN

A.Galat Interpolasi Polinom { E(x) }

Polinom interpolasi p_n(x) merupakan hampiran terhadap fungsi yang asli f(x). Jadi p_n(x) tidak sama dengan fungsi asli f(x), walaupun pada titik-titik tertentu f(x) dan pn(x)bersesuaian, yaitu :

f(x_i) = p_n(x_i) ,  i = 0, 1, 2, …,n

Karena  f(x) ≠ pn(x), berarti  ada selisih (galat) di  antara keduanya, sebutlah E(x)

E(x) = f(x) - p_n(x)

Mengingat  f(x_i) = p(x_i) untuk i = 0, 1, 2, ..., n, maka harus juga berlaku

       E(x_i) =  f(x_i) -  p_n(x_i) = 0

yang berarti E(x) mempunyai (n+1) titik nol dari  x₀ sampai x_n. E(x) dapat ditulis sebagai berikut :

       E(x) = f(x) - p_n(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) R(x)       ........(pers.1)

atau

       E(x) = Q_n+1(x) R(x)                                                        .........(pers.2)

yang dalam hal ini

 

Q_n+1(x) =  (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)                               .........(pers.3)         

Catatlah bahwa

       Q_n+1(x_i) = 0 untuk  i = 0, 1, …, n

R(x) adalah fungsi yang mencatat nilai -nilai selain dari  x₀,  x₁, …,xn. Bagaimana

menentukan R(x)? Jawabannya di bawah ini.

Persamaan Edapat ditulis sebagai 

f(x) - p_n(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) R(x) = 0

Misal didefinisikan fungsi W(t) sebagai

        W(t) = f(t) - p_n(t) - (t - x0) (t - x1) … (t - x_n) R(x) = 0     .........(pers.4)  

Perhatikan di sini bahwa R(x) tidak ditulis sebagai  R(t) karena kita akan mencari

nilai-nilai x selain t.  Persamaan W(t) = 0 berarti mempunyai (n+2) titik nol pada t

= x0, x1, …, xn dan t = x. Berdasarkan teorema Rolle yang berbunyi:

  Misalkan fungsi f menerus di dalam selang [a, b] dan f ‘(x) ada untuk semua

        a < x < b. Jika f(a) = f(b) = 0, maka terdapat nilai c, dengan a < c < b, 

        sedemikan sehingga f ‘(c) = 0.

jika  W menerus dan dapat diturunkan pada selang yang berisi ( n+2) titik nol,

maka :

W’(t)  =  0  è  mempunyai (n + 1) titik nol 

       W’’(t)  =  0  è  mempunyai n titik nol 

       W’’’(t)  =  0  è  mempunyai (n-1) titik nol 

      ...

       W ⁽ⁿ⁺¹⁾(t) =  0  è  mempunyai paling sedikit 1 titik nol, 

misal pada t = c





W (n+1)(t) = 0 = _d(n+1) [ f (t) - p_n(t) - (t - x₀) (t - x₁) … (t - x_n) R(x)] _{t = c}

               = f ^{(n + 1)} (c) - 0 - (n + 1)! R(x)                               .......(pers.5)

     yang dalam hal ini, 

p_n(t) adalah polinom derajat n, 

p_n⁽ⁿ⁾(t)  adalah fungsi tetap sehingga p_n ⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0

Q_n+1(t) = (t - x₀) (t - x₁) … (t - x_n) =  t⁽ⁿ⁺¹⁾ + (suku-suku polinom derajat  n)

Q_n+1⁽ⁿ⁺¹⁾(t) = (n + 1)! + 0

R(x) tidak bergantung pada t, jadi ia tidak berubah selama penurunan

Dari persamaan (Pers.5), kita memperoleh

R(x) =                          , x₀ < c < x_n                                 ........(pers.6)

Perhatikanlah bahwa persamaan (Pers.6) ini mengingatkan kita pada rumus galat

pemotongan pada deret Taylor. 

Selanjutnya, sulihkan (Pers.6) ke dalam (Pers.1), menghasilkan

E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)                        .........(pers.7)

Atau

E(x) = Q_n+1(x)                                                     .........(pers.8)

Dengan

Q_n+1(x) =  (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)

Rumus galat ini berlaku untuk semua metode interpolasi polinom, baik polinom Lagrange, polinom Newton, atau polinom interpolasi lainnya. Misalkan kita menginterpolasi dua buah titik dengan polinom Lagrange derajat satu (polinom lanjar). Galat interpolasinya dinyatakan dalam bentuk

E(x) =  f’’ (c)                                              

Bila fungsi f diketahui, kita dapat mencari turunannya di x = c untuk menghitung galat interpolasi E(x). Sayangnya, kita tidak mengetahui nilai c; yang pasti nilai c terletak antara  x₀dan  x_n. Jika  f ⁽ⁿ⁺¹⁾ berubah sangat lambat dalam selang [x₀,x_n], atau  [x₀,x_n] adalah selang kecil sedemikian sehingga f ⁽ⁿ⁺¹⁾ berubah sangat lambat, maka kita dapat menghampiri  f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c) dengan   f⁽ⁿ⁺¹⁾(x_t), yang dalam hal ini  x_t adalah titik tengah  x₀ dan  x_n, yaitu   x_t = (x₀+  x_n)/2. Galat interpolasi dengan menggunakan nilai x_t ini dinamakan galat rata-rata interpolasi E_R.

E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)                       .........(pers.9)

Dari persamaan (Pers.7) terlihat bahwa galat polinom interpolasi, selain

bergantung pada nilai  x yang diinterpolasi, juga bergantung pada turunan fungsi

semula.

Tinjau kembali Qn+1 pada persamaan (Pers. 8):

Q_n+1(x) =  (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)

 Misalkan  x₀,  x₁, …,  x_n berjarak sama. Grafik fungsi  Q untuk enam titik yang

berjarak sama ditunjukkan pada Gambar berikut

Berdasarkan Q₆(x) yang berosilasi pada Gambar diatas terlihat bahwa: 

-  di titik-titik data xi, nilai Q₆(x_i)  = 0, sehingga galat interpolasi  E(x_i)=0

-  di titik tengah selang, nilai Q₆(x) minimum, sehingga E(x) juga minimum

-  di titik-titik sekitar ujung selang, Q₆(x) besar, sehingga E(x) juga besar

-  bila ukuran selang [x₀, x₆] semakin besar, amplitudo osilasi meningkat dengan cepat.

Kesimpulan:

Galat interpolasi minimum terjadi untuk nilai  x di pertengahan selang.

Penjelasannya  adalah sebagai berikut. 

Nilai -nilai x yang berjarak sama ditulis sebagai 

  x₀ ,   x₁ = x₀ + h ,  x₂ = x₀ + 2h ,  ... ,  x_n = x₀ + nh

atau dengan rumus umum

  xi = x₀+ ih        ,  i = 0, 1, 2, …, n                                                           ........(pers.10)         

Titik yang diinterpolasi dinyatakan sebagai    

  x = x₀ + sh        , s  R

sehingga

  x - xi = (s -i)h   , i = 0, 1, 2, …, n                                                             .........(pers.11)

Galat interpolasinya adalah

       E(x)   = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) 

 = (sh) (s - 1)h (s - 2)h … (s - n)h

 = s (s - 1) (s - 2) … (s - n) hn+1               .......(pers.12)

Dapat diditunjukkan bahwa 

  Q_n+1(s) = s(s - 1)(s - 2) … (s - n)

bernilai minimum bila

  Q_n+1'(s)=0 

yang dipenuhi untuk s  =  n/2 (buktikan!).  Dengan kata lain,  E(x) bernilai

minimum untuk nilai -nilai x yang terletak di (sekitar) pertengahan selang.

Ingatlah kalimat ini:

 Untuk mendapatkan galat interpolasi yang minimum, pilihlah selang 

  [x0, xn] sedemikian sehingga x terletak di tengah selang tersebut.

Misalkan kepada kita diberikan titik-titik data seperti  ini:

Bila anda diminta menghitung  f(0.160), maka selang yang digunakan agar galat interpolasi  f(0.160) kecil adalah

  [0.150, 0.175]  è untuk polinom derajat satu, atau

  [0.125, 0.200]   è untuk polinom derajat tiga, atau

  [0.100, 0.225]   è untuk polinom derajat lima

1.      Batas antara galat interpolasi untuk titik-titik yang berjarak sama

Diberikan absis titik-titik yang berjarak sama: 

  xi = x₀ + ih ,  i = 0, 1, 2, …, n

dan nilai x yang akan diinterpolasikan dinyatakan sebagai 

  x = x₀ + sh ,   s  R

Untuk polinom interpolasi derajat 1, 2, dan 3 yang dibentuk dari  xi di atas dapat

dibuktikan bahwa

(i)      | E₁(x) |= | f(x) - p₁(x)|    h²    ...(pers.13)

(ii)   | E₂(x) |= | f(x) – p₂(x)|     h³                    ...(pers.14)

(iii) | E₃(x) |= | f(x) – p₃(x)|     h⁴         ...(pers.15)

Di sini kita hanya membuktikan untuk (i) saja:

Bukti:

Misalkan x₀= 0 dan  x_i = h, persamaan galatnya adalah

E₁(x)   = (x - x₀)(x - x₁)                ,yang dalam hal ini  x0 < c < x1

                                    = 

                        |E₁(x)|  = ½ | x²-xh  f’’(c) |

                                    = ½ | x²-xh  f’’(c) |  ½           

Misalkan

  (x) = x² - xh

Di dalam selang [x₀,  x₁], nilai maksimum lokal  f(x)  dapat terjadi pada ujung-

ujung selang ( x = 0 atau  x=  h) atau pada titik ekstrim  f(x). Terlebih dahulu

tentukan titik ekstrim  f(x) dengan  cara membuat turunan pertamanya sama

dengan 0: 

  ’(x) = 2x - h = 0 è  x = h/2

 Hitung nilai maksimum lokal (x) di ujung-ujung selang dan titik ekstrim: 

-  di ujung selang kiri   x = 0,    è    (0) = 0² - 0h = 0       

-  di ujung selang kanan x = h  è  (h) = h²- h² = 0      

-  di titik ekstrim    x = h/2  è   (h/2) =(h/2)² - (h/2)h = -1/4 h²

Jadi, ,maksimum |  (x)| = -1/4 h² , sehingga dengan demikian

      | E₁(x) |= | f(x) - p₁(x)|    h²

Contoh

Tinjaulah kembali tabel yang berisi pasangan titik (x , f(x )) yang diambil  dari   f(x) = cos(x).

(a)    Hitung galat rata -rata interpolasi di titik x = 0.5,  x = 1.5, dan  x = 2.5, bila x diinterpolasi dengan polinom Newton derajat 3 berdasarkan x₀ = 0.  

(b)   Hitung batas atas galat interpolasi bila kita melakukan interpolasi titik -titik berjarak

sama dalam selang [0.0 , 3.0] dengan polinom  interpolasi derajat 3.

(c)    Hitung batas atas dan batas bawah galat interpolasi di x = 0.5 dengan polinom Newton derajat 3  

Penyelesaian: 

(a)    Telah diketahui sebelumnya bahwa polinom derajat 3 yang menginterpolasi f(x)= cos(x) dalam selang [0.0, 3.0] adalah :

      cos(x)  p₃(x) = 1.0000 - 0.4597(x - 0.0) - 0.2485(x - 0.0)(x - 1.0) +     

                                   0.1466(x - 0.0)(x - 1.0)(x - 2.0)  

Menghitung galat rata-rata interpolasi :

Titik tengah selang [0.0 , 3.0] adalah di x_m= (0.0 + 3.0)/2 = 1.5

Galat rata-rata interpolasi adalah :

E₃(x) = f⁽⁴⁾ (x_m)

Hitung turunan keempat dari fungsi  f(x) = cos(x),        

      f '(x)    = -sin(x) ;

      f ”(x)    = -cos(x) ;

      f '''(x)    = sin(x)

      f ⁽⁴⁾(x)   = cos(x) 

karena itu,

E₃(x) = (cos(1.5))

Untuk x = 0.5,  x = 1.5, dan x = 2.5, nilai-nilai interpolasinya serta galat  rata-rata  interpolasinya dibandingkan dengan nilai sejati dan galat sejati diperlihatkan oleh tabel berikut :

Catatan: 

Perhatikan bahwa karena x = 1.5 terletak di titik tengah selang, maka galat interpolasinya lebih paling kecil dibandingkan interpolasi x yang lain.

(b)   Telah diketahui bahwa batas atas galat interpolasi dengan  polinom derajat 3 adalah

| E₃(x) |= | f(x) – p₃(x)|     h⁴  , , x0 £ c £ x3.

Telah diperoleh dari (a) bahwa f ⁽⁴⁾(x) = cos(x), dan dalam selang [0.0 , 3.0] nilai Max | f⁽⁴⁾(x) |terletak di  x = 0.0.  Jadi,   |f⁽⁴⁾(x) | =  |cos(0.0)|= 1.000000. Untuk  p₃(x)

dengan jarak antar titik data adalah h = 1.0, batas atas galat  interpolasinya adalah 

             E₃(x)  (1.0)4 1.000000/24 = 1/24 = 0.0416667. 

Nilai-nilai  E₃(x) pada  tabel di atas semuanya di bawah 0.0416667. Jadi, batas  atas

0.0416667 beralasan.

(c)    E₃(x) = (cos(1.5))

E₃(0.5) = (-cos(c))   , 0.0  c  3.0

Karena fungsi cosinus monoton dalam selang [0.0 , 3.0], maka nilai  maksimum  dan 

nilai minimum  untuk cos (c) terletak pada ujung-ujung selang. Untuk   c = 0.0

maka :

E₃(0.5) = (-cos(0.0))

            = - 0.0390625 (minimum),

dan  untuk c = 3.0 maka

E₃(0.5) = (-cos(3.0))

            = 0.0386716 (maksimum)

sehingga, batas-batas galat interpolasi di  x = 0.5 adalah :

     -0.0390625   E₃(0.5)  0.0386716

2.    Taksiran galat interpolasi Newton

Salah satu kelebihan polinom Newton dibandingkan dengan polinom Lagrange adalah    kemudahan menghitung taksiran galat interpolasi meskipun fungsi asli  f(x) tidak diketahui,  atau kalaupun ada, sukar diturunkan. 

Tinjau kembali polinom Newton: 

p_n(x) = p_n-1(x) + (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n-1) f[x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]

Suku

  (x - x₀)(x - x₁)…(x - x_n-1) f[x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]

dinaikkan dari n sampai  n + 1 menjadi 

  (x - x₀)(x - x₁)…(x - x_n-1) (x - x_n) f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]

Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi

E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)

Ekspresi  

dapat dihampiri nilainya dengan   f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]

yang dalam hal ini  f(x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀) adalah selisih-terbagi ke (n + 1). Jadi

 f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]                      ....(pers.16)

sehingga taksiran galat interpolasi Newton dapat dihitung sebagai 

  E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]              .....(pers.17)

asalkan tersedia titik tambahan x_n +1.

Contoh :

Perhatikan tabel !

Bila digunakan polinom derajat tiga untuk menaksir nilai  f(2.5),  hitunglah taksiran galat interpolasinya.

Penyelesaian:  

Bila digunakan polinom derajat tiga, maka tersedia titik sesudah  x₃ =3.0, yaitu  x₄ = 4.0,dan dari tabel  selisih-terbagi ditemukan f[x₄, x₃, x₂, x₁, x₀] =  -0.0147

sehingga taksiran galat dalam menginterpolasi f(2.5) adalah

 

E(2.5) = (2.5 - 0.0)(2.5 - 1.0)(2.5 - 2.0)(2.5 - 3.0) (-0.0147) = 0.01378125      

3.      Taksiran galat interpolasi Lagrange

Taksiran galat polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena tidak

tersedia rumus taksiran galat seperti halnya pada interpolasi Newton. Namun, jika

tabel selisih-terbagi tersedia, maka taksiran galatnya dapat dihitung dengan rumus

taksiran galat polinom Newton:

  E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]    

asalkan tersedia titik tambahan  xn+1. Meskipun demikian, tabel selisih-terbagi

tidak dipakai sebagai bagian dari algoritma Lagrange, ini jarang terjadi.

B. Polinom Newton-Gregory

Polinom Newton-Geogry merupakan kasus khusus dari polinom-Newton untuk titik-titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi nilai-nilai x berjarak sama, misalnya pada table fungsi, atau pada pengukuran yang dilakukan pada selang waktu yang teratur.

Untuk-untuk titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih sederhanah. Selain itu, table selisih terbaginya pun lebih mudah dibentuk. Di sini kita menamakan table tersebut sebagai tabel selisih saja, karena tidaak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen tabel.

Ada dua macam table selisih, yaitu table selisih maju (forwad difference) dan table selisih mundur (backward difference). Karena itu, ada dua macam polinom Newton-Geogry maju dan polinom Newton-Geogry mundur.

1.   Polinom Newton-Gregory maju

Polinom Newton-Geogry maju diturunkan dari table selisih maju. Sebelum menurunkan rumusnya, kita bahas dahulu table selisih maju.

a.    Table Selisih Maju

Misal diberikan lima buah titik dengan absis x yang berjarak sama. Tabel selisih maju  yang dibentuk dari kelima titik itu adalah

x                 f(x)                    ∆f                              ∆2f                            ∆3 f                        ∆4f

x0                              f0                   ∆f0                                               ∆2f0                                        ∆3f0                                                  ∆4f0 x1                          f1                   ∆f1                                              ∆2f1                                        ∆3f1                                 ∆4f0 x2                         f2                   ∆f2                                               ∆2f2                                        ∆3f2 x3                         f3                   ∆f3                                                ∆2f3 x4                         f4                  ∆f4

Lambang ∆ menyatakan selisih maju. Arti setiap symbol didalam symbol adalah :

f₀ = f(x₀)  = y₀

f₁ = f(x₁)  = y₁

_…

f₄ = f(x₄) 

Notasi: f_p =f(x_p)

∆f₀ = f₁-f₀

∆f₁ = f₂-f₁

_…

∆f₃ = f₄-f₃

Notasi: ∆f_p = f_p+1-f_p

∆²f₀ =∆f₁-²f₀

∆²f₁ =∆f₂-∆f₁

∆²f₂ =∆f₃-∆f₂

Notasi : ∆²f_p =∆ f_p+1-∆f_p

∆³f₀ =∆²f₁-∆²f₀

∆³f₁ =∆²f₂-∆²f₁

Notasi : ∆³f_p =∆²fp+₁-∆²f_p

Bentuk umum:

∆ⁿ⁺¹f_p =∆ⁿfp+₁-∆ⁿf_p,                                  n= 0,1,2…                     .....(pers.18)                    

b.    Penurunan Rumus  Polinom Newton-Geogry Maju

Sekarang kita mengembangkan polinom Newton-Geogry maju yang didasarkan pada table selisih maju.

                                                   ....(pers.19)

                                                                                                                                                                    

         =                         ..........(pers.20)

Bentuk umum:

.......(pers.21)

Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis sebagai

berikut:

Persamaan ini dinamakan polinom Newton-Geogry maju. Persamaan ini dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif:

          ......(pers.23)

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai

Dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

Maka, persamaan diatas dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai

Yang menghasilkan

                                                                                                                        .....(pers.24)

Atau dalam bentuk relasi rekusif.

(i). rekunsi:

(ii). Basis: p₀(x)=f(x₀)                                                                .....(pers.25)

                                             

            Seringkali (pers.24) dinyatakan dalam bentuk binomial:

                                     ...(pers.26)

            Yang dalam hal ini .

  (s>0, bilangan bulat)

Dan

k!=1 x 2 x…x k

  Tahap pembentuk polinom Newton-Geogry maju untuk titik-titik berjarak sama dapat dituliskan sebagai berikut:

…

c.       Menghitung Galat Interpolasi Newton-Geogry Maju

Seperti halnya pada polinom Newton, kita dapat menghitung batas-batas galat intterpolasi Newton-Geogry maju.

d.      Taksiran Galat Interpolotasi Newton-Gregory Maju

Seperti halnya polinon Newton ,taksiran galat interpolasi dengan nilai pada tabel selisih.

 Tinjau kembali polinom Newton_Geogry maju:

Dengan s= (x-x₀)/h

Naikkan suku

Dari n menjadi n+1

Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi

Sehingga, dapat dihampiri dengan

Jadi, taksiran galat dalam menginterpolasi f(x) dengan polinom Newton-Geogry maju adalah

 

Atau bentuk lain,

Dengan s=(x-x₀)/h_.

e.    Manfaat Tabel selisih Maju

Berdasarkan pembahasan yang telah terinci Tabel selisih bermanfaat untuk menentukan

1.  Derajat polinom interpolasi

2.  Selang data

3.  Ketelitian yang diinginkan.

2.   Polinom Newton-Geogry Mundur

Polinom Newton –Gregory Mundur (Newton-Gregory backward) di bentuk dari tabel selisih mundur .polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan (derivative) secara numerik .Titik –titik yang di gunakan berjarak sama ,yaitu  

Yang dalam hal ini,

Dan nilai yang diinterpolasikan adalah

Sebagai contoh, tabel selisih mundur untuk 4 titik diperlihatkan oleh tabel berikut:

i                           xi                       f(x)

-3                    x-3                                      f-3 -2                    x-2                                      f-2 -1                    x-1                                      f-1 0                     x0                                        f0

Lambang  menyatakan selisih mundur.

Keterangan:

  

Polinom Newton-Geogry mundur yang menginterpolasi (n+1) titik data adalah

Contoh :

Diberikan 4 buah titik data dalam tabel berikut. 

Hitunglah f(1.72) dengan :

(a)  polinom Newton-Gregory maju derajat 3

(b)  polinom Newton-Gregory mundur derajat 3

Misalkan jumlah angka bena yang digunakan adalah 7 digit. 

Penyelesaian: 

(a)    Polinom Newton-Gregory maju derajat 3

s = (x - x₀)/h = (1.72 - 1.70)/0.1 = 0.2

Perkiraan nilai f(1.72) adalah

f(1.72) » p3(1.72) = 0.3979849 + 0.2(-0.0579985) +  (-0.0001693)

+  (0.0004093)

= 0.3979849  - 0.0115997 + 0.0000135 + 0.0000196

                              = 0.3864183

(nilai sejati  f(1.72) = 0.3864185, jadi p3(1.72) tepat sampai 6 angka bena)

(b)   polinom Newton-Gregory mundur derajat 3

Tabel di atas memperlihatkan bahwa tabel selisih mundur sama dengan tabel selisih maju, yang berbeda hanya notasi dan penempatan elemennya.

           

s = (x - x0)/h = (1.72  - 2.0)/0.1 = -2.8

Perkiraan nilai f(1.72) adalah

f(1.72) » p3(1.72) = 0.2238908 - 2.8(-0.0579278) + (0.0002400)      

+  (0.0004093)

= 0.2238908 + 0.1621978 + 0.0006048  - 0.0002750

                             = 0.3864183

Contoh diatas memperlihatkan bahwa penyelesaian dengan Newton-Gregory maju atau mundur menghasilkan jawaban yang sama.

BAB III

PENUTUP

1.    Kesimpulan

·         Rumus rata-rata galat interpolasi polinom

E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n)                            

·         Rumus galat interpolasi polinom minimum

 E(x) = s (s - 1) (s - 2) … (s - n) hn+1

·         Untuk polinom interpolasi derajat 1, 2, dan 3 yang dibentuk dari x_i  yang telah dibuktikan rumus sebagai berikut

(i)                 | E₁(x) |= | f(x) - p₁(x)|    h²

(ii)               | E₂(x) |= | f(x) – p₂(x)|     h³        

(iii)             | E₃(x) |= | f(x) – p₃(x)|     h⁴     

·         Rumus taksiran galat interpolasi newton

E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀] 

·         Taksiran galat polinom Lagrange tidak dapat dihitung secara langsung karena tidak

tersedia rumus taksiran galat seperti halnya pada interpolasi Newton. Namun, jika

tabel selisih-terbagi tersedia, maka taksiran galatnya dapat dihitung dengan rumus

taksiran galat polinom Newton:

  E(x) = (x - x₀) (x - x₁) … (x - x_n) f[x_n+1, x_n, x_n-1, …, x₁, x₀]    

asalkan tersedia titik tambahan  xn+1. Meskipun demikian, tabel selisih-terbagi

tidak dipakai sebagai bagian dari algoritma Lagrange, ini jarang terjadi.

·         Tabel selisih bermanfaat untuk menentukan

1.      Derajat polinom interpolasi

2.      Selang data

3.      Ketelitian yang diinginkan.

·         Dalam polinom Newton-Gregory tabel selisih mundur sama dengan tabel selisih maju, yang berbeda hanya notasi dan penempatan elemennya.

·         Cara penyelesaian dengan Newton-Gregory maju atau mundur menghasilkan jawaban yang sama.

2.    Saran

DAFTAR PUSTAKA

Munir. Renaldi. 2008. Metode Numerik. Bandung : Informatika Bandung.

https://onemat.files.wordpress.com/2012/04/polinom-newton.docx‎

Khurdi, N. A. 2011. Metode Numerik dengan Matlab.Surakarta: Duta Publishing Indonesia.